9. Kapitel :  Mathematik in richtiger Anwendung

Und jetzt können wir zu den obigen Skizzen bei der Relativitätstheorie zurückkommen, und zu den letzten drei Fragen, die wir dabei gestellt hatten.
Gelten hier die Regeln der Mathematik ?
Gelten hier die Regeln der Vektorrechnung ?
Oder anders gefragt : Ist tatsächlich   v R   =  –  v’L      ?
Um diese zu klären, wollen wir jetzt einmal ganz langsam und logisch vorgehen.
Rufen wir uns in Erinnerung, welche Formeln wir für die linke Skizze und für die rechte Skizze ermittelt hatten, und sehen wir uns diese Skizze nochmals an.
       ( Als Gedankenstütze wollen wir eine Hilfs-Skizze erstellen, wie dies vorn im vorhergehenden Kapitel verwendet wurde. Für die Definitions-Gleichung muß man die Vorzeichen zweimal beachten : als erstes ist das Vorzeichen wie bei der Kennzeichnung auf der Skizze zu übernehmen, und als zweites ist als Definition die Lage der Pfeile beim Durchfahren des Kreises im Uhrzeigersinn zu bewerten. Hierbei wurde angenommen :  Pfeil im Uhrzeigersinn = positiv,  Pfeil gegen Uhrzeigersinn = negativ )

           s R  +  x’ –  x  =  0                             –  w’L +  x’  – x  =  0
              x’  =  x  – s R                                             x  = x’  –   w’L 
Wenn wir jetzt gleich zu Beginn der Formel-Umstellungen die Gesetzmäßigkeiten für die Geschwindigkeiten s R =  vR  t   und   w’L =  v’L  t’
verwenden, dann  erhalten wir die beiden Definitionsgleichungen 
        x’ –  x  +  v R  t      =  0            – x  +  x’  – v’L  t’   =  0
Und nach der Umstellung gemäß System-Zuordnung ergibt sich
        x’ = ( x  –  v R  t )                                  x =  ( x’  – v’L  t’ )
Und mit der Konstante k könnte man erhalten
        x’ = ( x  –  v R  t  ) / k                             x =  ( x’  – v’L  t’ ) / k
Wir waren so weit gekommen, daß wir als nächsten Schritt in der rechten Gleichung die relative Geschwindigkeit der Systeme zueinander, also hierbei das  v’L   ersetzen wollten.
Die grundsätzliche Frage, ob sich jetzt für die rechte Skizze in der Formel das v’L  als positiv oder negativ darstellt – also in der Formel mit Plus oder Minus erscheint – kann im Grunde genommen unmöglich in der Form gewertet werden, daß wir die Formeln betrachten, denn man kann sowohl die unteren Formeln unter der Skizze, als auch die Definitions-Formeln in anderen Art darstellen, indem man alles mit – 1 durchmultipliziert. Dann würde man erhalten
     + x – x’ – v R   t     = 0                und             + x – x’  +  v’L t’  =  0
Wie sich unschwer erkennen läßt, so kann man das Vorzeichen ändern, ohne daß dadurch die Gesetzmäßigkeit anders wird.
Deshalb wollen wir jetzt eine andere Entscheidung treffen : Wir tauschen in derrechten Skizze die Relativ-Geschwindigkeit  v’  in der Form aus ( weil wir für die Berechnung von k das v und v’ vereinheitlichen müssen ), wie sie in der Skizze beschrieben steht. Und in der rechten Skizze steht da folgendes :  v’L    und zwar ein v’L  ohne Vorzeichen und das bedeutet dann ein positives v’L .
Somit ist klar, daß wir uns jetzt überlegen müssen, was wir für das  v’L  einsetzen sollen.
Fangen wir damit an, daß wir nach den Regeln der Vektor-Rechnung vorgehen wollen. Nach diesen Regeln müßte man gleichsetzen können :
                    v’L      =     v L   .
Und natürlich gilt nach den gleichen Regeln
                    v L      =   –  v R    .
Soweit wären wir jetzt mit den Betrachtungen der Mathematik gekommen.
Aber schauen wir uns jetzt dazu die Physik an.
Wir können suchen, solange wir wollen, aber gemäß der physikalischen Betrachtung gibt es in diesem linken System kein v L , das man für den Austausch verwenden könnte.
Man könnte zwar mathematisch durch Formelumstellung ein  –  v R    erzeugen, aber das entspricht in keiner Weise den physikalischen Tatsachen, denn auch ein negatives  v R   zeigt nach links. Das heißt, dieses  –  v R   sieht als Vektor-Pfeil folgendermaßen aus :
                                        

Und so etwas gibt es nun mal nicht in der linken Skizze, also eine Relativ-Geschwindigkeit, die nach links zeigt.
Mathematisch gesehen könnte man noch zu einigen anderen Tricks greifen, um zu einem –  v R  zu kommen. Man könnte sogar die linke Skizze nochmals neu und dann  anders zeichnen, indem man dann eine neue Definitionsgleichung und neue Ableitungen aufstellt. Rein rechnerisch würde man dann auch zu dem gewünschten Ergebnis kommen, indem man die Formeln der Lorentz- Transformation in der bisherigen Form erhält.
Aber physikalisch läßt sich nichts an der Tatsache ändern, daß wir in der linken Skizze keinen Vektor-Pfeil haben, der darauf schließen läßt, daß sich in dieser Betrachtung das S’-System nicht nach rechts bewegt, sondern nach links.
Um dieses noch etwas mehr zu verdeutlichen, wie die Relativ- Geschwindigkeiten v und v’ gleichgesetzt werden müssen ( für die Ermittlung der Konstanten k ), können wir uns vorstellen, daß man die beiden Systeme als Bahnhof und Zug, oder aber als zwei Sterne im Weltall, oder vielleicht als zwei Flugzeuge annimmt.
( Von den Flugzeugen könnte eines sogar – zur leichteren Vorstellung – wegen starken Gegenwindes als relativ zum Erdboden stehend betrachtet werden, was aber gar keine Rolle spielt, denn die Relativbeobachtung soll ja unabhängig von der tatsächlichen Bewegung der gesamten Betrachtung erfolgen. )
Wenn man also mit einem Funksprechgerät die Beobachter abfragt, wie aus ihrer Sicht die Bewegung des anderen System erfolgt, also diese Relativ-Bewegung – wenn deren Grundhaltung bzw. Ausgangs-Blickrichtung nach derselben Richtung gehen soll, beispielsweise nach Norden, kontrolliert durch einen Kompaß – dann wird der Beobachter des S-Systems sicher antworten :
Die Bewegung des anderen Systems erfolgt nach RECHTS.
Und der Beobachter in dem anderen S’-System wird dann sicher antworten, wenn er nur das andere System im Auge haben soll, zum Beispiel beobachtet durch ein Loch oder durch ein Rohr oder Fernrohr, wie er das andere System sieht :
Die Bewegung des anderen Systems erfolgt nach LINKS.
Da es sich bei dieser Beobachtung um ein und dieselbe Bewegung handelt, muß als Ergebnis dieser Beobachtungen eindeutig gelten :
                                    v RECHTS   =     v’LINKS 
Das ist und bleibt dieselbe Bewegung !
Nur so und nicht anders kann die physikalische Gesetzmäßigkeit für die Relativbewegung sein.
Und somit kann bei der weiteren Berechnung der Formeln jetzt die Vereinheitlichung der Relativ-Geschwindigkeit vorgenommen werden, indem also gilt :  v R = v’L   . Und dieses eingesetzt in diese Gleichung, die wir zuletzt besprochen hatten :
              x’  =  ( x  –  v R t ) / k       und      x  =  ( x’ –  v’L  t’ ) / k
Die Einsetzung ergibt :
              x’  =  ( x  –  v R t ) / k       und      x  =  ( x’ –  v R  t’ ) / k
Wie man sieht, so sehen die beiden Gleichungen anders aus, als bisher in der Lorentz-Transformation, wenn man die Transformation der Relativ- Geschwindigkeit von einem System zum anderen System  r i c h t i g   vorgenommen hat.
Wenn man jetzt weiter rechnet, dann kommt man für die Berechnung der Konstanten k zu ganz anderen Ergebnissen, indem das Vorzeichen in der rechten Formel gegenüber der früher üblichen Berechnungsform anders aussieht, also negativ wird. Und dieses wiederum führt dazu, daß man ein anderes Ergebnis für die Konstante k erhält.
Aber, und das ist jetzt wiederum etwas verwirrend, wenn man weiter rechnet, dann könnte man für die Endformel, also für die eigentliche Formel der Lorentz-Transformation wieder einen Vorzeichen-Wechsel erreichen, wenn man in der rechten Formel wieder das v’ einführen will, da man ja in der Endformel für die rechte Seite ( wo also die Zeit als gestrichene Größe vorkommt ) die Geschwindigkeit v’ mit der Zeit t’ multiplizieren müßte. Aber die Konstante k würde jetzt anders aussehen, indem es dabei kein v-Quadrat und kein c-Quadrat geben würde, und auch keine Wurzel.
Dies gilt natürlich alles mit der Einschränkung, daß es eine Berechnung dieser Art, als mit dem Wechsel von unabhängigen Variablen zu abhängigen Variablen und dann wieder zurück zu unabhängigen Variablen eigentlich nicht geben kann.

        10. Kapitel : Mathematik für Skeptiker

Es mag sein, daß Sie jetzt überzeugt sind. Da aber vielleicht trotz allem manche Mathematiker oder uneinsichtigen Physiker, die die Mathematik als Glaubensgrundsatz gewählt haben, noch nicht so ganz zu der Einsicht gelangt sind, daß bei diesen Gesetzmäßigkeiten zuerst die Physik gelten muß und die Mathematik nur zur Unterstützung mancher Berechnungen für die Formeln gelten soll, so möchte ich noch eine zusätzliche Betrachtung anfügen, die ausschließlich auf mathematischen Gesichtspunkten aufgebaut ist.
Möglicherweise könnte ihnen das jetzt als überflüssig erscheinen oder fast schon langweilig vorkommen, aber die Erklärungen für die Richtigstellung einer Theorie können überhaupt nicht ausführlich genug sein, denn es ist bestimmt nicht einfach die Wissenschaftler von dem Denken abzubringen, daß ihnen bisher Jahrzehnte lang immer wieder eingetrichtert worden ist.
Also noch eine Betrachtung, diesmal zunächst wieder ohne die Physik.
Wir wollen uns nochmals die beiden Skizzen ansehen. Da es aber bisher in der Mathematik sehr oft üblich war, daß derartige Skizzen bei der Herleitung der Lorentz-Transformation oder bei den Berechnungen für die Relativitätstheorie überhaupt nicht angewandt worden waren, oder meistens weggelassen worden waren, so wollen wir uns jetzt etwas mehr mit den darunter stehenden Formeln befassen und die Skizzen hier nicht nochmals ansehen, denn die Formeln wollen wir jetzt mehr aus mathematischen Gesichtspunkten analysieren.
Die Formeln für die linke Seite und für die rechte Seite waren :
       s R +  x’  –  x   = 0                        – w’L  + x’  – x  =  0
          x’  =   x  –  s R                                x  =  x’  –  w’L
Nach der Zuordnung der Geschwindigkeiten v erhielten wir :
        x’ – x  +  v R t  =  0     und              x’  – x  – v’L  t’ = 0
Und nach der Formel-Umstellung ergab sich :
        x’ = ( x  –  v R t )         und               x  = ( x’  – v’L  t’ )
Jetzt wollen wir uns einmal die Formeln für die beiden Betrachtungen der Systeme jeweils aus Sicht des anderen Systems ansehen, und dann die Formeln auf der linken Seite mit den Formeln auf der rechten Seite vergleichen, aber mathematisch vergleichen.
Man könnte jetzt die unteren Formeln nach der Formel-Umstellung ansehen. Doch dabei haben wir ein Problem, indem wir sehr auf die Vorzeichen achten müssen. Denn bei der Relativ-Geschwindigkeit richtet sich das Vorzeichen immer danach, auf welcher Seite der Gleichung dieser Wert steht. Also je nachdem die Relativ-Geschwindigkeit der Seite mit den x-Werten oder aber der Seite mit den x’-Werten zugeordnet wird, so kann sich dadurch das Vorzeichen ändern. Aber machen wir es uns doch einfach und betrachten die Definitions- Gleichungen. In diesen Definitions-Gleichung ( hier ganz oben ) wird auf beiden Seiten das x mit dem gleichen Plus-Vorzeichen definiert und das x’ wird natürlich auch beidemal mit dem gleichen Minus-Vorzeichen definiert.
       s R +  x’ –  x   =  0          und          – w’L  + x’  – x  =  0 
bzw. mit den Geschwindigkeiten eingesetzt, erhalten wir
        x’ – x  +  v R t  =  0     und            x’  – x  – v’L  t’ = 0
Hierbei wird ersichtlich, daß die Relativ-Geschwindigkeit jeweils anders definiert wird. Da wir aber später im weiteren Verlauf der Rechnungen diese Relativ- Geschwindigkeit vergleichen wollen, so kann es dazu kommen, daß wir mathematisch die verschiedenen Formen der Relativ-Geschwindigkeit miteinander vergleichen müssen. Um uns nun die Arbeit etwas erleichtern zu können, wollen wir uns zunächst einmal einen Überblick verschaffen, in welcher Art und Weise diese Relativ-Geschwindigkeit aus mathematischer Sicht auftreten kann, ohne daß wir uns zunächst über die tatsächlichen physikalischen Zusammenhänge kümmern.
Es könnten dabei theoretisch folgende Werte zustande kommen, wie gesagt aus mathematischer Sicht, bzw. aus Sicht der Vektor-Rechnung, wobei wir zuerst einmal die Wege betrachten wollen :
   s R ,  – s R  , s L, – s R ,   w’L , – w’L ,  w’R , – w’R  .
Damit wir einen besseren Überblick haben, wollen wir uns diese Größen mit dem zugehörigen Vektor-Pfeil ansehen, doch damit dies nicht zu unübersichtlich wird, wollen wir die Pfeile gleich ordnen. Also zuerst stellen wir die Pfeile dar, die nach rechts gehen.
                
Und dann sehen wir uns die Pfeile an, die nach links gehen.
                 
Als nächsten Schritte können wir uns jetzt die Geschwindigkeiten betrachten, die diesen Wegen zugeordnet werden können und wobei es sich ja ebenfalls um Vektoren handeln muß :
   v R,  – v R  , v L, – v R ,   v’L , – v’L ,  v’R , – v’R  .  
Und auch hierbei wollen wir die Vektor-Pfeile wieder ordnen, wobei wir uns auch wieder zuerst die rechtsgerichteten Pfeile ansehen wollen :
             
Und dann schauen wir uns auch noch die Pfeile an, die nach links gehen :
              
Wie das heute so schön üblich ist, wollen wir uns aber jetzt einmal die Arbeit etwas erleichtern und wir führen sozusagen zunächst für die Wege einen ”Einheits-Vektor für Rechts“ ein und wir führen einen ”Einheits-Vektor für Links“ ein. Und danach können wir noch so einen ”Einheits-Vektor für Rechts“ und einen ”Einheits-Vektor für Links“ ebenso auch für die Geschwindigkeiten einführen. Das bedeutet, wir wollen gemäß der Vektor-Rechnung ein Vektor nach rechts mit einem anderen ( gleichgroßen) Vektor nach rechts gleich setzen.
Denn in der Mathematik darf man ja so etwas.
So sind nun einmal die Regeln der Mathematik !
Den ”Einheits-Vektor nach Rechts“ nennen wir ( zur leichten Unterscheidung ) für die Wege, also für den Weg ”s“ und den Weg ”w“ :
                                      
Und den ”Einheitsvektor nach Links“ für die Wege nennen wir :
                                      
Genauso können wir jetzt diese Einheitsvektoren auch für die Geschwindigkeiten ”v“  einführen.
Den ”Einheits-Vektor nach Rechts“ für die Geschwindigkeiten nennen wir :
                                      
Und den ”Einheits-Vektor nach Links“ für die Geschwindigkeiten nennen wir :
                                       
Zur leichteren Orientierung wollen wir hier der Einfachheit halber nochmals alle Vektoren auflisten, die genauso, wie der Vektor  s/w _GRÜN , nach rechts gehen, zuerst für die Wege :
             s/w GRÜN      ist gleich wie     s R ,  – s L  ,   – w’L  ,  w’R  .
Und weiterhin gilt für die Vektoren, die nach links gehen :
             s/w BLAU      ist gleich wie   – s R  , s L ,   w’L ,  – w’R  .
Die gleiche Auflistungen sehen folgendermaßen aus, jetzt aber dementsprechend für die Geschwindigkeiten, die nach rechts gehen :
             v GRÜN      ist gleich wie     v R ,  – v L ,  – v’L  ,  v’R  .
Und weiterhin gilt für die Vektoren, die nach links gehen :
             v BLAU      ist gleich wie    – v R  ,  v L ,    v’L ,  – v’R  .
Damit haben wir aber jetzt eine tolle Möglichkeit in unseren verschiedenen Gleichungen für die Relativ-Bewegung der Systeme diese ”Einheits-Vektoren“ einzuarbeiten, damit wir somit eine ”einheitliche mathematische Sprache“ sprechen können, wenn wir die rechte und linke Gleichung für die unterschiedliche Sicht der System-Bewegungen miteinander mathematisch vergleichen wollen.
Diese beiden Definitionsgleichungen hießen dabei ( hier nochmals als Wiederholung ) mit den Relativ-Bewegung zur Kenntlichmachung in Klammern gesetzt, jedoch aus mathematischen Gesichtspunkten ( also ohne Physik ) :
        x’ –  x  +  s R   =  0        und          x’ – x  + ( – w’L  ) =  0 
Jetzt können wir hier die Vektoren für die relativen Bewegungen der Systeme durch unsere ”Einheits-Vektoren“ ersetzen und erhalten :
        x’ –  x  +  s/w GRÜN    =  0        und           x’ – x  + s/w GRÜN   =  0 
Diese gleiche Betrachtung mit den Einheits-Vektoren für die Geschwindigkeiten ergibt dann folgendes Ergebnis
        x’ –  x  +  t  * v GRÜN    =  0        und        x’ – x  +  t’ * w GRÜN    =  0 
Ist das nicht eine tolle Möglichkeit, um die beiden unterschiedlichen Gleichungen ohne irgendwelche zusätzlichen – möglicherweise umstrittenen – Zuordnungs- Diskussionen vergleichbar machen zu können, um daraus dann nach dem Einsetzen des Faktors  k  die Größe dieses Faktors ermitteln zu können ?
Doch was ist eigentlich mit diesen beiden Gleichungen rechts und links los ?
Von einem Unterschied ist da überhaupt nichts mehr zu erkennen ?
Die beiden Gleichungen rechts und links sind doch vollständig identisch !
Kann denn das sein ?
Das kann nicht nur sein, das muß so sein, denn wenn man die Mathematik richtig anwendet, kann man sehr wohl erkennen, was man manchmal durch falsche Zuordnungen für Fehler macht. Und jetzt erkennen wir, wenn man die Vektoren falsch zuordnet, daß wir es dann bei den rechten Formeln und den linken Formeln mit genau den gleichen Formeln zu tun haben, die aber durch hin und her schieben und somit mit geänderten Vorzeichen-Zuordnungen auf jeweils der anderen Seite unterschiedlich aussehen mögen.
Das heißt, um dieses hier nochmals sehr deutlich zu sagen, dieses oben genannte Ergebnis der gleichen mathematischen Formeln für beide Systeme – ohne daß dieser Fehler sofort sichtbar wird – kommt nur zustande, wenn die Umstellung von  v’  nach  v gemäß den hier nicht gültigen Regeln der Vektor-Rechnung erfolgt, und  n i c h t   die physikalischen Gegebenheiten zu berücksichtigt werden !
Doch genau dieses Ergebnis, das wir jetzt erhalten haben, kann aber physikalisch nicht sein, denn das würde ja bedeuten, daß man die Formeln der rechten Seite mit den Formeln der linken Seite vertauschen könnte, weil es sich um mathematisch identische Formeln handelt. Und gleichzeitig würde das aber auch bedeuten, daß man somit auch die Skizzen beliebig austauschen könnte.
Diese Verbindung, daß man die Formeln vertauschen könnte und dementsprechend damit auch die Skizzen ebenfalls mit vertauschen könnte, ist deshalb so wichtig, weil es sich in der Mathematik und genau so auch  in der Physik eingebürgert hat, daß man heutzutage nur noch die Formeln betrachtet und für die Berechnung verwendet, und die dazugehörigen Skizzen im allgemeinen immer wegläßt. Also heute vertauscht man eben nur die Formeln, ohne sich über zugehörige Skizzen Gedanken zu machen. Und somit vertauschen wir hierbei auch die Formeln, aber diesmal mitsamt den Skizzen.
Aber jetzt läßt sich eindeutig erkennen :
Die Formeln können nicht identisch sein, denn schließlich müssen sich ja die beiden Betrachtungen aus der unterschiedlichen Sicht der beiden Systeme durch irgend etwas unterscheiden. Und dieses Wort ”Betrachtung“ kann hier wörtlich verstanden werden, denn bei der ”Betrachtung” des jeweils anderen Systems müssen die Beobachter ihren Kopf jeweils nach einer anderen Richtung drehen, um das andere System überhaupt ”betrachten“ zu können.
Und genau jetzt sind wir an der Stelle, an der die ganze Betrachtung so richtig lustig wird. Denn wenn man tatsächlich die Formeln und somit auch die rechte Skizze mit der linken Skizze vertauschen könnte, weil wir nur ganz stur die Regeln der Mathematik angewandt haben, dann kann man sehen, daß sich in dieser Darstellung die beiden Skizzen vollständig widersprechen und eigentlich überhaupt nichts mehr miteinander zu tun haben. Aber wie gesagt, das kann eben nicht sein. Die beiden Skizzen müssen voneinander verschieden sein. Das ist aber der Fall, weil die beiden Relativ-Geschwindigkeiten voneinander unterschiedlich – ja nach System anders – gekennzeichnet werden müssen.
Das heißt konkret :
Die Kenzeichnung der Relativgeschwindigkeiten dürfen nicht gleich sein,  sondern sie müssen voneinander verschieden sein.
Dies ist genau so – damit möchte ich dieses Beispiel nochmals wiederholen – wenn zwei Menschen nebeneinander stehen, in die gleiche Richtung schauen, und sich dabei jeweils mit einer Hand berühren, beispielsweise vor den Traualtar. Bei dem einen Menschen wird dazu die rechte Hand verwendet und bei dem anderen Menschen die linke Hand. In diesem Fall bedeutet Berührung :

          Rechte Hand berührt dielinke Hand  =  die gleiche Berührung,
          aber eine unterschiedliche Bezeichnung der Hände.

Und genau dieses ist die sogenannte ”Relativität“ der beiden Systeme.
Wie also oben gesagt, kann man sogar auch durch die Mathematik den Beweis erbringen, daß die bisher übliche Form der Ableitung der Lorentz- Transformation nicht richtig sein kann.
Wenn man aber die Mathematik richtig anwendet, also richtig im Sinne der Physik, dann läßt sich ermitteln, daß bei richtiger Berechnung das Vorzeichen in der einen Formel für die Berechnung der Konstanten k anders sein müßte, als das bisher üblich war.
       Das bedeutet, in den Berechnungs-Formeln für
       die Konstante k für die Lorentz-Transformation
       der bisher üblichen Art ist ein
       Vorzeichen-Fehler enthalten.
Dies heißt aber, daß dieser Vorzeichen-Fehler nur in dem Berechnungs- Ablaufsichtbar wird, aber in der Weiterrechnung bis zu den Endformeln der Lorentz-Transformation kann dieser Vorzeichen-Fehler wieder ausgeglichen werden, wenn man akzeptiert, daß in der zweiten Formel der Lorentz- Transformation statt dem v ein v’ zu stehen kommt.
Aber daraus resultiert dann, daß die Konstante k, also der Wert unter dem Bruchstrich ( in den Endformeln der Lorentz-Transformation ) in der bisher üblichen Art falsch berechnet worden ist, indem es in dieser Konstante kein v- Quadrat und auch kein c-Quadrat geben kann.
Diese gesamten Betrachtungen gelten natürlich immer nur unter der Einschränkung, daß es eine Berechnung dieser Art, als mit dem Wechsel von unabhängigen Variablen zu abhängigen Variablen und dann wieder zurück zu unabhängigen Variablen eigentlich nicht geben kann.
Doch da wir bis hierher gekommen sind, und die Fehler bei der Ableitung der Lorentz-Transformation  aufgezeigt haben, und zudem auch erklärt haben, daß die Konstante in diesen Transformations-Gleichungen anders aussehen müßte, so wollen wir jetzt auch noch den letzten Schritt gehen, und die Herleitung der Lorentz-Transformation ohne Fehler und insbesondere ohne Vorzeichenfehler vornehmen.

    11. Kapitel :  Lorentz-Transformationen ohne Fehler

Zuletzt hatten wir die Ableitung der Transformationsgleichungen mit der etwas unüblichen Erklärung der Vektoren in Anlehnung an die Richtungen links und rechts vorgenommen, aber dieses hatten wir nicht vollständig bis zum Schluß durchgezogen.
Doch jetzt wollen wir einmal eine korrekte Herleitung der Gleichungen der Lorentz-Transformation in allgemein üblicher Form durchsprechen und dabei sollten wir noch mal ganz am Anfang beginnen. Wir nehmen uns dazu wieder die zwei verschiedenen Skizzen vor, damit man die Gleichungen aus der unterschiedlichen Sicht der Systeme ableiten kann. Doch da wir jetzt gelernt haben, daß es ganz wichtig ist zwischen links und rechts zu unterscheiden und dementsprechend exakt zwischen Plus und Minus und analog dazu zwischen Bewegungen nach Plus und nach Minus zu unterscheiden, so wollen wir diese Ableitung nur mit der in der Mathematik üblichen Unterscheidung der Richtungen ausschließlich durch die Vorzeichen durchführen.
Aber die Aufstellung einer Definitionsgleichung, vergleichbar mit einer Gleichgewichtsformel, wollen wir auch hier wieder voranstellen, damit bei der Zuordnung der Vorzeichen mögliche Fehler vermieden werden.
( Sollte über die Zuordnung der Vorzeichen bei den Definitions-Gleichungen noch eine gewisse Unklarheit bestehen, so können nochmals die Anmerkungen unter der Skizze in dem vorangegangenen Kapitel ”Der exakte Berechnungsweg“ nachgelesen werden. )

( Als Gedankenstütze wollen wir eine Hilfs-Skizze erstellen. Für die Definitions-Gleichung muß man die Vorzeichen zweimal beachten : als erstes ist das Vorzeichen wie bei der Kennzeichnung auf der Skizze zu übernehmen, und als zweites ist als Definition die Lage der Pfeile beim Durchfahren des Kreises im Uhrzeigersinn zu bewerten. Hierbei wurde angenommen :  Pfeil im Uhrzeigersinn = positiv,  Pfeil gegen Uhrzeigersinn = negativ )
                    

Die Definitions-Gleichungen lauten :
                    s +  x’  –  x  = 0                           x’  – x  – ( – s’ )  =  0
Für die 1. Formel der Lorentz-Transformation läßt sich aus der linken Skizze folgende Gleichung als Basis ermitteln :
                     x’  =  x – s    
Dies ist sicher nicht schwer zu verstehen und auch nicht umstritten, denn dieses steht in Übereinstimmung mit den bisher üblichen Ableitungen.
Für die 2. Formel der Lorentz-Transformation läßt sich aus der rechten Skizze folgende Gleichung als Basis herleiten :
                                                                         x =  x’  –  ( –  s’ )
Um jetzt die Relativgeschwindigkeit in die Gleichungen einbringen zu können, so müssen die Gesetzmäßigkeiten für die beiden Systeme in Bezug auf diese Relativ-Bewegung beachtet werden, wobei gilt : s =  v t    und    – s’ = – v’ t’ bzw.  s’ =  v’ t’ .
Damit ergeben sich die beiden Gleichungen für die beiden Skizzen.
Linke Skizze  :        x’ =  x  –  v t
Rechte Skizze :       x   =  x’   – ( – v’  t’ )     bzw.    x =  x’ + v’ t’    
Als nächstes wollen wir jetzt wieder als Unterscheidung für die Verschiedenheit der beiden Systeme einmal dem x’ und bei der anderen Gleichung dem x ein Unterscheidungsmerkmal zuordnen, das wir als Konstante k bezeichnen können.
Damit erhalten wir für die linke Skizze : k x’ = x  –  v t .
Und für die rechte Skizze ergibt sich :  k x =  x’ +  v’ t’ .
Wenn man jetzt die Konstante k jeweils auf die andere Seite der Gleichung bringt, so bekommen wir die Gleichungen
              x’  =  ( x  – v t ) / k                und       x =  ( x’  +  v’ t’ ) / k

Da aber in diesen beiden Gleichungen bisher die Konstante k unbekannt ist, so wollen wir versuchen eine Lösung für die Konstante k zu finden, die im wesentlichen dann nur noch aus den bisher in den Gleichungen verwendeten Größen besteht. Allerdings läßt sich das nur mit einer Einschränkung realisieren, und zwar muß man eine zusätzliche Gesetzmäßigkeit mit in die Betrachtung einführen. Und zwar brauchen wir jetzt die Gesetzmäßigkeit für die Lichtausbreitung, indem in jedem System, also im S-System und im S’-System die ähnlich lautende Gesetzmäßigkeit gelten soll, also  x = c t   und x’ = c’ t’ .
Als ersten Schritt für die Berechnung der Konstanten k müssen wir jetzt in den beiden Gleichungen die Konstante allein stellen :
               k  =  ( x  – v t ) / x’               und     k  =  ( x’  + v’ t’ ) / x 
Jetzt können wir die Zusammenhänge aus der linken Formeln mit denen der rechten Formel verbinden, und wir können das k aus der linken Formel mit dem k aus der rechten Formel multiplizieren. Daraus ergibt sich
                      k    =  ( x  – v t ) ( x’  +  v’ t’ ) / x’ x
Als nächsten Schritt wollen wir die oben genannte Gesetzmäßigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit in dieser Gleichung einbauen, wobei wir jetzt zudem auch mit, gemäß Relativitätstheorie, die angenommene Gleichsetzung der Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Systemen hier einbringen wollen, indem dabei gelten soll :  c  =  c’ .
Somit erhalten wir
                       k     = ( c t  –  v t ) ( c t’  +  v’ t’ ) /  c t’ c t
und daraus folgt
                       k      = t ( c   –  v  ) ( c   + v’ ) t’ /  c t’ c t
Nach der Kürzung ergibt sich
                       k     =  ( c   –  v  ) ( c   + v’ )  /  c  
Doch jetzt haben wir es in dieser Gleichung noch mit zwei verschiedenen Bezeichnungen für die Relativ-Geschwindigkeit zu tun, und zwar mit  v und  v’.
Dieses müssen wir auch noch vereinheitlichen, damit wir die Formel auf nur einen Wert für die Relativ-Geschwindigkeit reduzieren können. 
Jetzt erhebt sich aber die Frage, wie man die Relativ-Geschwindigkeit aus dem S’-System mit der anderen Relativ-Geschwindigkeit aus dem S-System vergleichen kann.
Oder die konkrete Frage lautet dabei :
Kann man  v =  v’ einsetzen ?
Oder :   Muß man die Beziehung   v = – v’ verwenden ?
Da dies die schwierigste Frage bei dieser gesamten Ableitung ist, und insbesondere weil dies sehr wichtig ist und zudem das folgende Ergebnis im Widerspruch zur bisherigen Meinung fast aller Wissenschaftler auf der ganzen Welt steht, so möchte ich dieses Problem hier nochmals auf zwei verschiedene Arten besprechen.
Als erstes möchte ich nochmals die Erklärung wiederholen, die ich bereits vorn gegeben habe. Dabei hatte ich vorgeschlagen, daß man sich vorstellen könnte, daß es sich bei den zwei Systemen um Bahnhof und Zug handelt, oder aber um zwei Sterne im Weltall, oder vielleicht um zwei Flugzeuge.
( Von den Flugzeugen könnte eines sogar – zur leichteren Vorstellung – wegen starken Gegenwindes als relativ zum Erdboden stehend betrachtet werden, was aber gar keine Rolle spielt, denn die Relativbeobachtung soll ja unabhängig von der tatsächlichen Bewegung der gesamten Betrachtung erfolgen. )
Wenn man also mit einem Funksprechgerät die Beobachter abfragt, wie aus ihrer Sicht die Bewegung des anderen System erfolgt, also diese Relativ- Bewegung – wenn deren Grundhaltung bzw. Ausgangs-Blickrichtung nach derselben Richtung gehen soll, beispielsweise nach Norden, kontrolliert durch einen Kompaß – dann wird der Beobachter des S-Systems sicher antworten :
Die Bewegung des anderen Systems erfolgt nach RECHTS, und damit in der Art, wie das in der linken Skizze mit dem Pfeil für das  s  bzw. für das  v  angegeben worden ist.
Und der Beobachter in dem anderen S’-System wird dann sicher antworten, wenn er nur das andere System im Auge haben soll, zum Beispiel beobachtet durch ein Loch oder durch ein Rohr oder Fernrohr, wie er das andere System sieht : Die Bewegung des anderen Systems  erfolgt nach LINKS, so wie das in der rechten Skizze mit dem Pfeil für das  – s’ bzw. für das  – v’  gekennzeichnet worden ist.
Da es sich bei dieser Beobachtung um ein und dieselbe Bewegung handelt, muß als Ergebnis dieser Beobachtungen eindeutig gelten :
          Die Relativ-Bewegung des einen Systems
                     =     ( ist die gleiche Bewegung wie )  =
          die Relativ-Bewegung des anderen Systems.
Und damit muß gelten, daß man die Bewegungen, wie sie in den Skizzen stehen, genau so übernehmen muß und gleichsetzen muß, und zwar mitsamt den dabei aufgeführten Benennungen oder Bezeichnungen oder Markierungen gleichsetzen muß. Somit gilt :
                                        v  =   –  v’ .

Dieses sollte im Prinzip als Begründung eigentlich ausreichen. Aber wie bereits gesagt, weil dies Thema nicht ganz einfach zu verstehen ist, so möchte ich hier eine weitere Erklärung, bzw. einen Vergleich anfügen.
In der Baustatik und auch im Brückenbau ist es erforderlich, daß man des öfteren Belastungen und Kräfte berechnen muß. Für diese Berechnungen wird normalerweise zu Beginn eine grundsätzliche Betrachtung angestellt, bei der oft der folgende Ansatz zur Anwendung kommt, der schon früher in der Physik bekannt war : ”actio = reactio“. Oder bei den Statikern heißt das dann :
                                 Kraft   =   Gegenkraft .
Damit diese Gesetzmäßigkeit und die damit zusammenhängenden Details richtig verstanden werden, so wird dazu manchmal auch eine Skizze beigefügt, die dann im Prinzip folgendermaßen aussehen kann :

Wie also gesagt, so heißt hierbei ganz eindeutig die Gesetzmäßigkeit
                                      Kraft   =   Gegenkraft .
Oder mit einer Gleichung oder Formel ausgedrückt kann man dazu auch den Zusammenhang feststellen :
                                             P   =   P’
Ich denke, daß dies allgemein bekannt ist. Dazu muß man aber noch feststellen, daß es sich bei den Kräften ebenfalls um gerichtete Größen, also um Vektoren handelt. Und obwohl dies eindeutig vektorielle Größen sind, und diese auch mit Pfeilen dargestellt worden sind, so kann man trotzdem anmerken:
Kein normaler Mensch würde hier auf den Gedanken kommen,
daß man dabei die Gesetze der Vektor-Rechnung anwenden könnte,
sodaß es dann fälschlicherweise P =  –  P ’  heißen müßte.
Dies würde wohl kaum jemand einfallen,
( außer vielleicht den Physikern ? )
zumindest keinen realitäts-bezogenen Bautechniker,
denn dann würde allenfalls nur das Bauwerk ”einfallen“.  
Selbst wenn man einmal in der Skizze die Benennung oder die Namensgebung der Pfeile anders wählen würde, und wenn man den unteren Pfeil mit  – P’ bezeichnen würde, so würde sich an der Gesetzmäßigkeit auch nichts ändern, denn dann würde für diese geänderte Pfeil-Markierung der Zusammenhang anders ausgedrückt werden, also in diesem Fall  P = – P’ . Aber eben nur in diesem Fall, wenn der untere Pfeil anders – mit Minus – markiert worden wäre. Auch dann gelten nicht die Gesetze der Vektor-Rechnung.
Daraus ist ableitbar, daß bei der ”richtigen“ Physik immer zuerst die physikalischen Zusammenhänge beurteilt werden müssen, und erst danach können mathematische Gesetzmäßigkeiten angewandt werden, wie etwa aus der Vektor-Rechnung.
Aber wie gesagt :
Nur dann dürfen diese mathematischen Regeln zum Ansatz kommen, wenn dies notwendig und richtig ist.
Hier in diesem Beispiel ist das nicht notwendig und auch nicht richtig.
Hier gilt nur die Physik.
Und wie beim Hausbau oder Brückenbau eben nur die Physik gilt, so hat auch in der Relativitätstheorie zuerst die Physik zu gelten.
Man könnte hier bei diesem Beispiel mit den Kräften sogar noch ein Stück weiter gehen und sich vorstellen, daß hier in diesem Beispiel die Kraft P von oben ersetzt wird durch eine Person, die mit der Hand von oben auf ein Brett drückt.
Und die Kraft P’ von unten kann man sich vorstellen als Gegenkraft, indem von einer anderen Person von unten mit der Hand dagegen gedrückt wird. Auch dabei muß dann gelten : Kraft = Gegenkraft.
Das ist nur ein Vorgang und eine Gesetzmäßigkeit,
wenngleich aus zwei verschiedenen,
entgegengesetzt gerichteten Richtungen
jeweils eine Kraft wirksam wird.
Denn anders kann es kein Gleichgewicht geben und anders kann die Gesetz- mäßigkeit nicht vollständig dargestellt und nicht vollständig erklärt werden.
Und genau so, wie dies in der Baustatik und wie dies bei den Kräften zu verstehen ist, so ist das auch zu verstehen bei dem Vergleich der Relativ- Geschwindigkeiten in den beiden verschiedenen Systemen.
Auch dabei gilt :
                Das ist ein und dieselbe Relativ-Geschwindigkeit,
                lediglich mit verschiedenen Markierungen,
                oder mit verschieden gekennzeichneten  Bewegungs-Buchstaben,
aus Sicht von zwei verschiedenen Systemen,
aber es ist ein und dieselbe Geschwindigkeit.
Dabei gilt somit die physikalische Gesetzmäßigkeit 
                                       v   =   –  v’
oder aber                     –  v  =    +  v’
Dies war die zweite Erklärung und ich hoffe, daß damit diese Gesetzmäßigkeit ausreichend erklärt worden ist.
Nachdem wir das jetzt mit dem Zusammenhang zwischen v und  – v’ geklärt haben, können wir diese Erkenntnis in die zuletzt oben aufgeführte Formel übertragen, also in die Gleichung
                                k      =  ( c   –  v  ) ( c   + v’ )  /  c    
Und somit ergibt sich jetzt
                                 k      =  ( c   –  v  ) ( c   –  v )  / c  
Daraus erhalten wir
                               k      =  ( c   –  v  )   /  c   
Wenn man jetzt links und rechts die Wurzel zieht, so lautet das Ergebnis
                               k      =    ( c  –  v  ) /  c
Mit diesem Ergebnis können wir jetzt die Endformeln der Lorentz-Transformation in korrekter Form darstellen. Damit heißt die 1. Gleichung von den vier Transformations-Formeln :
         1. korrekte LT :    x’ =  ( x  –  v t ) c / ( c  –  v )
Bei der zweiten Endformel der Lorentz-Transformation erhebt sich jetzt die Frage, ob man diese Formel mit der Relativ-Geschwindigkeit des S-Systems oder des S’-Systems darstellen will, also ob mit dem  v  oder mit dem v’. Um hier Klarheit zu erhalten, so möchte ich beide Formeln nennen :
          2. korrekte  LT ( mit dem  v )       x  =  ( x’  – v t’ ) c / ( c  –  v ) 
          2. korrekte  LT ( mit dem  v’ )     x’  =  ( x’  + v’ t’ ) c / ( c  –  v )
Im Prinzip wären wir jetzt am Ende, indem wir jetzt wissen, daß die Formeln der Lorentz-Transformation in richtiger Berechnung also ganz anders aussehen müßten, als wie das bisher fast ein Jahrhundert lang in der Welt angenommen worden war. Wir könnten aber jetzt auch noch eine weitere Berechnung anstellen, indem wir auch die Zeitformeln der Lorentz-Transformation ermitteln könnten. Und mit dieser Ausrechnung der Zeitformel könnten wir dann nochmals weiterrechnen und möglicherweise kontrollieren, wie die Relativität der Zeit mit diesen neu berechneten Formeln zu ermitteln ist.
Doch es gibt einen einfacheren Weg, um uns eine Betrachtung dieser Relativität der Zeit zu erarbeiten. Denn man braucht nicht erst diese Zeit-Formeln der Lorentz-Transformation zu ermitteln. Man braucht nämlich nur eine von den oben ermittelten ”Korrekten Lorentz-Transformationen“ ( = K.LT ) zu nehmen und dabei wieder die bekannte Gesetzmäßigkeiten  x =  c t und  x’  =  c t’  einzusetzen. Nehmen wir die
1. K. LT  :     x’  =  ( x –  v t ) c / ( c  –  v )
Nach der Einsetzung ergibt sich :
              c t’  =  ( c t   – v t ) c / ( c  –  v )
Daraus erhalten wir
                                    c t’  =  t ( c  –  v ) c / ( c  –  v )
Die rechten Seite der Gleichung, also der Bruch oben und unten gekürzt mit dem ( c – v ) ergibt
                                      c t’   =  c t
Beide Seiten gekürzt mit c ergibt als Endergebnis :
                                         t’  =  t
So lautet das Endergebnis und so ist die Relativität der Zeit zu betrachten, wenn man die Ableitung der Lorentz-Transformationen richtig vornimmt.
Die Zeit  t  in dem S-System ist genauso groß wie die Zeit  t’ in dem S’-System.

 Relativität : Ade !

     12. Kapitel :  Uhren in dreifacher Interpretation

Also nehmen wir jetzt einmal an, daß es das K’-System geben würde, so kann man auch noch weitere Betrachtungen anstellen, die ebenfalls mathematisch interpretierbar sind, sodaß wir mit verschiedenen Varianten einmal drei Möglichkeiten einer mathematischen Auslegung zu dieser Berechnung uns anschauen wollen.

1. Möglichkeit einer Interpretation ( c = 0 ) :
Aus der 4. LT :  t  =  (  t’  +  x’ v’/ c  ) / k  könnte man möglicherweise die erste Behauptung mit    t = 0  ableiten, wenn man das t’ = 0 und das x’ = 0 in die Gleichung einsetzt. Da aber das Ergebnis mit : t k = 0  nicht ganz eindeutig ist, indem ja als Ergebnis das k = 0 sein könnte, und dann das t aus dieser Gleichung nicht eindeutig hervor geht, so bietet es sich an, für die Ermittlung besser die 1. LT : x’ = ( x  –  v t ) / k  anzuwenden und hier das x’ einzusetzen, sodaß sich ergibt   x = v t .  Jetzt muß man aber für die Aussage, wie groß  x  sein soll, die 2. LT : x =  ( x’  +  v’ t’ ) k  verwenden, woraus mit dem Einsetzen von x’ = 0 und  t’ = 0 eindeutig hervorgeht, daß  x = 0  sein muß. Und dann kann man aus der  1. LT ableiten,  daß bei   x’ = 0  und  x = 0  das  t = 0  sein muß.
Somit ist klar, daß im ersten Fall alle 4 Werte, also x , x’ , t  und t’ gleich Null sein müssen.
Für das zweite Ergebnis braucht man nur die 4. LT :  t  = ( t’  +  x’ v’/ c  ) / k , indem man x’ = 0  setzt und  t’ = 1 , sodaß sich ergibt  t = t’ / k .
Da aber für das zweite Ergebnis der Wert von  x’ = 0  beibehalten werden mußte, so muß man die Frage stellen, wie es eigentlich mit dem Zusammenhang x = c t  oder  x’ = c t’ aussieht. Denn dieser Zusammenhang muß ja nach wie vor gelten, da bei dem Endergebnis die Lichtgeschwindigkeit c bzw. c’ ( und c = c’ ) in der Konstanten k vorkommt. Doch wenn die Formel mit der Geschwindigkeit des Lichtes immer gelten soll, also wenn man x’ = c t’ berechnen kann, so kann man hierbei ermitteln, daß bei Einsetzen von der Festlegung t’ = 1 und x’ = 0 das Ergebnis dabei nur heißen kann, daß in diesem Fall das c = 0  sein muß.
Aber mit c = 0  kann es die Konstante k nicht geben und ohne die Konstante k kann man die Lorentz-Transformation nicht zum Ansatz bringen. Also kann  dieses Ergebnis für dieses Beispiel mit diesen Angaben keine Gültigkeit haben.

2. Möglichkeit einer Interpretation ( v = 0 ) :
Bei der generellen Klärung der Zusammenhänge zwischen den zwei verschiedenen Systemen hat Einstein die 1. und 2. Formel der Lorentz- Transformation verwendet. Aber für die Frage, wie sich das mit der Zeit verhält, mußte er ja für eine generelle Festlegung diese ersten beiden Formeln verändern, sodaß er eine Berechnung für die Zeiten t und t’ vornehmen konnte. Wie bereits oben beschrieben, so kann man für die Umwandlung der ersten beiden Formeln verschiedene Wege gehen, um durch Einsetzen der beiden Formeln x = c t  und  x’ = c t’  zu den Umrechnungs-Formeln für die Zeit t und t’ zu kommen. Und um auf die Umrechnungs-Formeln zu kommen, wie sie Einstein als 3. und 4. Formel der Lorentz-Transformation propagiert hat, muß man noch mehr Aufwand treiben, also man muß noch zwei zusätzliche Rechenvorgänge einschieben und bewußt aus  c t wieder eine Rück-Umwandlung vornehmen. Dies wäre nicht notwendig gewesen, wenn man die einfacheren Umrechnungs- Formeln in der b-Version verwendet hätte. Diese b-Version hatten wir bereits vorn ermittelt, und diese lauteten 
      3.b – LT  : t’ = ( t – t v / c ) / k   und    4.b – LT : t = ( t’ + t’ v’/ c ) / k
Eine Frage wäre jetzt aber als nächstes zu klären, und zwar warum man diese Gleichungen nicht verwenden sollte, denn in der Mathematik sollten ja bekanntlich auch verschiedene Rechenwege normalerweise zum gleichen Ergebnis führen. 
Wenn man aber jetzt diese 4.b – LT : t = ( t’ + t’ v’/ c ) / k   für die Berechnung benutzt, um bei Einsetzung von  t’ = 1  zu dem Ergebnis  t = 1 / k  zu kommen, dann kann man dieses Ergebnis nur erhalten, wenn das zweite Glied in der Klammer zu Null wird und nur das vordere t’ = 1 übrig bleibt. Aber dieses Ergebnis kann man nur bekommen, wenn in dem zweiten Glied ein Faktor gleich Null ist. Und da ja das t’ = 1 ist und das c als Konstante eigentlich nicht Null sein soll, denn sonst gilt ja die ganze Lorentz-Transformation nicht, dann kann ja nur noch die Relativgeschwindigkeit v’ = 0 sein. Das wiederum würde aber bedeuten, daß sich die beiden Systeme K und K’ überhaupt nicht voneinander weg bewegen.
Doch damit wäre die ganze Erklärung mit der unterschiedlichen Zeit in zwei sich relativ zueinander bewegenden Systemen ”Null und nichtig“.

3. Möglichkeit der Interpretation ( v = c ) :
In den Rechenbeispielen und insbesondere bei der Erklärung und Ableitung der Lorentz-Transformation geht Einstein immer davon aus, und nur so kommt ja die Lorentz-Transformation überhaupt zustande, daß der Zusammenhang mit der Lichtgeschwindigkeit für jedes System von fundamentaler Bedeutung ist. So beschreibt er das auch in den oben genannten Buch in den vorhergehenden Kapiteln und faßt dies zusammen in Kapitel 11, indem für die einzelnen Größen für Raum und Zeit, also speziell für das  x und das  t  bzw. für das  x’ und das  t’ folgender Zusammenhang oder folgende Beziehungen gelten sollen ( Zitat aus Kapitel 11 ) :
Die Beziehungen müssen so gewählt werden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes für einen und denselben Lichtstrahl ( und zwar für jeden ) in Bezug auf K und K’ Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in der Zeichnung angegebene relative räumliche Orientierung der Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen :

                                                   x   –  v t
                                         –––––––––––––––
                                              

Somit nennt er hierbei zuerst die 1. LT , danach weist er wegen der angefügten Zeichnung auf die Beziehungen von y’ = y  und  z’ = z   hin, und dann fügt er die 4. LT   für die Zeit t’ hinzu :
                                           t   –  x  v/c
                              ––––––––––––––––
                                     

Also wie aus der Erklärung deutlich hervorgeht, sind die Gesetzmäßigkeiten für die Lorentz-Transformationen so gewählt, daß das Gesetze von der Lichtgeschwindigkeit darin enthalten sein muß.
Und wie auch bekannt ist und wie das Einstein oft erwähnt hat, so wurde das Gesetz von der Lichtgeschwindigkeit in der Form  x = c t   oder aber in der gestrichenen Form  x’ = c t’ in diese Formeln der Lorentz-Transformation eingebaut.
Und dieser Zusammenhang mit dem c muß auch deshalb gelten und Beachtung finden, weil Einstein als Schlußsatz in § 12 extra darauf hingewiesen hat.
Jetzt haben wir aber oben in dem Berechnungsbeispiel von Einstein erkennen können, daß bei den eingesetzten Werten mit x’ = 0  in die 1. Lorentz- Transformation als Zwischenergebnis   0 ^. k = x  – v t    bzw. daraus dann schließlich  x = v t  zu ermitteln war.
Dadurch haben wir aber schließlich zwei ähnliche Formeln erhalten, die beide gelten müssen, also x = c t  und  x = v t .
Diese oben genannte Formel   x = c t  muß hier also auf jeden Fall auch mit gelten, weil wir es ja mit einer generellen Betrachtung zu der Relativitätstheorie zu tun haben, also eine Betrachtung zu einem generellen Verhalten von Uhren bzw. der Zeit bei relativ zueinander bewegten Systemen. Auch aus dem in dem Text von Einstein aufgeführten Nachsatz ist zu erkennen, daß der Zusammenhang mit dem ”c“ gelten muß, da er auf dieses ”c“ extra nochmals hinweist :
”Auch hier spielt die Geschwindigkeit c die Rolle einer unerreichbaren Grenzgeschwindigkeit.“
Und zudem hat Einstein in Kapitel 11 diesen Zusammenhang mit dem ”c“ als ständig gültige Formel angeführt, als er nachweisen wollte, daß gleichzeitig die beiden Formeln gelten müssen :  x = c t   und  x’ = c t’. 
Wenn man jetzt aber diese beiden oben genannten Formeln (x = c t und x = v t ) zusammen ansieht und beide Formeln vergleicht, das heißt x = x setzt und sodann  v t = c t  erhält, so läßt sich daraus eindeutig ableiten, daß in diesem Fall in diesem Beispiel   v = c   sein muß.
Wenn man jetzt diese Erkenntnis, daß hierbei v = c  sein muß, in das von Einstein aufgezeigte Endergebnis  t = t’ /  einsetzt, und dann das letzte Glied unter der Klammer betrachtet, so muß man feststellen, daß dann theoretisch in der Wurzel und somit der Gesamtwert im Nenner eigentlich Null werden müßte. Doch so ein Ergebnis, also eine Teilung durch Null, darf es in der Mathematik eigentlich nicht geben, weil so ein Ergebnis nicht eindeutig interpretierbar ist.
Also müssen wir hier an die Sache etwas anders herangehen und uns erinnern, daß Einstein ja behauptet hat, daß die Lichtgeschwindigkeit c eine unerreichbare Grenzgeschwindigkeit darstellt, wie er das am Ende des oben aufgeführten Beispieles in Kapitel 12 extra betont hat.
Diese Erklärung ist auch verständlich, denn wenn es eine größere Geschwindigkeit v geben würde, dann könnte ja der Wert unter der Wurzel, also das  v/c  größer als 1 werden, damit würde der Wert unter der Wurzel negativ, also imaginär und das wäre dann mit der Realität nicht mehr zu erklären. Auch wenn man die Möglichkeit einbeziehen würde, daß irgendwie eine Geschwindigkeit v gleich c sein könnte, würde der Wurzelausdruck zu Null und das Ergebnis wäre mathematisch ebenfalls nicht erklärbar.
Also gut, spielen wir das Spiel einmal mit und erkennen an, daß die Geschwindigkeit v in unserem Beispiel nicht ganz so groß sein soll, wie das c , sondern ein ganz klein wenig geringer ist als c . Denn so soll das ja gemäß Einstein mit der Grenzgeschwindigkeit verstanden werden.
Wenn aber v ganz ganz wenig kleiner ist als c ist, denn wird der Wert  v / c ein ganz klein wenig kleiner sein, als Eins. Mathematisch ausgedrückt sagt man, daß dieser Wert v / c  ”gegen 1 geht“. Und damit wird das Ergebnis unter der Wurzel eine Zahl sein, die sehr sehr klein ist, winzig klein, und die Mathematiker sagen hierzu, daß dieser Wert ”gegen Null geht“.
Wenn aber dieser Wert unter der Wurzel ”gegen Null geht“ und sehr klein ist, dann muß insgesamt der Nenner, also die Zahl unter dem  t’ ebenfalls sehr sehr klein sein. 
Doch wenn man eine beliebige Zahl, die man für t’ wählen kann, und genauso natürlich auch die Zahl 1 durch eine sehr sehr kleine Zahl teilt, man könnte sagen, stellen Sie sich vor, daß hinter dem Komma Millionen von Nullen folgen und dann erst nach vielen Stellen hinter dem Komma eine Eins, dann kann man diese Zahl des Bruches als Ergebnis als extrem groß bezeichnen. Oder man kann auch sagen, das Ergebnis dieser Teilung von  t’ durch  k  würde ”fast“ unendlich groß sein. Das bedeutet, das t müßte als ”fast“ unendlich angenommen werden. Und da wir gerade beim Rechnen sind und noch die Formel  x = v t  oder auch  x = c t  vor Augen haben, so kann man daraus ableiten, daß auch der Wert für  x  ”fast“ unendlich groß sein müßte.
Mit diesem Ergebnis können wir aber jetzt eine abschließende Betrachtung zu diesem Beispiel von Einstein in Kapitel 12 anstellen :
Wenn man eine Zeit   t’ = 1    in  einem anderen System   K’  analysieren will   ( wobei man angeblich den Nullpunkt immer und überall mit x’ = 0 wählen könnte ) und durch die Relativitätstheorie berechnen will und dadurch ermittelt, welche Zeit  t  in unserem System K inzwischen vergehen müßte, dann muß man feststellen, daß dieses nur nach einem Zeitraum möglich ist, den man als ”unendlich“ bezeichnen kann.
Da wir gleichzeitig auch als Ergebnis das x ermitteln konnten, also den Weg oder die Entfernung, die dieses andere System K’ von unserem System K haben müßte, so kann man auch dazu die Antwort erfahren, indem dieses System ebenfalls in einer Entfernung liegen müßte, die man als ”unendlich“ bezeichnen kann. Das heißt, daß selbst in unserem uns bekanten Universum mit einem angenommenen Durchmesser von einigen Milliarden Lichtjahren ein derartiges System K’ nicht vorkommen kann. Oder mit anderen Worten :
Ein System mit relativen Längen oder mit relativen Zeiten
 kann es nur in einer ”Nirgendwo-Welt“ geben.
Diese Anmerkungen mit Berechnungen in dem Kapitel 12 in dem oben angegeben Buch sind so ziemlich die einzigsten mathematischen Begründungen, mit denen Einstein in allgemeiner Form eine generelle Erklärung zu bewegten Maßstäben und bewegten Uhren abgibt, bzw. allgemein die relative Betrachtung von Längen und von Zeiten begründen will.
( Anmerkung :  Auf andere fehlerhafte Erklärungen anderer Autoren, etwa die fehlerbehaftete Berechnung einer Lichtuhr, möchte ich hierbei auch nicht mehr eingehen, denn dies habe ich bereits 1984 getan. )
Damit möchte ich diese Analyse der mathematischen Beispiele aus dem Kapitel 12  des ersten Buches von Einstein abschließen und unter diesen manchmal mehr und manchmal weniger wissenschaftlichen Betrachtungen zu dieser unrealistischen Theorie langsam einen Schlußstrich ziehen.
Doch halt, ein paar Kleinigkeiten können wir doch noch besprechen, und zwar kann ich Ihnen sozusagen als Resümee noch zwei letzte mathematische Leckerbissen vorführen, die durch die Rechentricks der Relativitätstheorie zu recht amüsanten Ergebnissen führen.